Matematik ve Mozaik


Mozaik sanatı farklı geometrik şekillere sahip parçaların aralarında boşluk kalmadan ve parçalar üst üste gelmeden düz bir yüzeyi kaplayacak şekilde birleştirilmesi olarak tanımlanabilir. Bu tür kaplamaların doğadaki örnekleriyle ve insan yapımı uygulamalarıyla sıkça karşılaşırız. Altıgen şekillerden oluşan bal peteği ve kaldırımlar bu kaplamaların çevremizdeki göze çarpan örneklerinden.

Ancak bir yüzeyin farklı parçalar birleştirilerek kaplanması matematikçiler için daha karmaşık anlamlara sahip bir kavram.

Örneğin kaplanmış bir zeminde düz bir şekilde yürüdüğünüzü düşünün. Belli desenlerin düzenli aralıklarla tekrar ettiğini fark ettiyseniz, bu tür kaplamalar periyodik olarak adlandırılabilir. Ancak farklı parçalardan oluşan kaplamaları periyodik olarak tanımlayabilmek için, parçaların iki boyutlu bir düzlemde her iki yönde de düzenli olarak tekrar etmesi gerekir. Bir kaplamanın periyodik olup olmadığını basit bir deneyle anlayabilirsiniz. Bir eskiz kâğıdına çizdiğiniz tekrar eden mozaik deseninin kopyasını, zemin üzerinde döndürmeden belli bir yönde kaydırdığınızda, alttaki desenle eşleşiyorsa mozaiğin periyodik olduğu söylenebilir.

Peki, periyodik olmayan yani belirli düzende tekrar etmeyen bir zemin kaplamasının oluşturulması mümkün müdür?

İlk olarak bir kaplamanın periyodik olmadığına nasıl karar verebiliriz sorusuna cevap vermeye çalışalım. Periyodik olmayan (aperiyodik) mozaiklerin en önemli özelliği mozaiği oluşturan desenlerin belirli aralıklarla tekrar etmemesidir. Bir mozaiğin periyodik olup olmadığını anlamak için kullandığımız yöntemden burada da yararlanabiliriz. Tekrar eden mozaik deseninin kopyasını zemin üzerinde kaydırdığımızda ya da ayna görüntüsünü aldığımızda alttaki desenle eşleşmiyorsa bu tür kaplamalar aperiyodik olarak sınıflandırılabilir. Ancak tekrar eden desen taslağı döndürüldüğünde alttaki desenle eşleşiyorsa yani dönme simetrisine sahipse bu tür kaplamalar aperiyodik olarak sınıflandırılabilir.

İnsanların güzellik anlayışları simetri kavramıyla yakından ilişkili. Simetri, tasarımı oluşturan bileşenlerin daha dengeli yerleşmesine olanak sağlar. Farklı simetri türleri vardır. Yani tekrar eden desen farklı şekillerde hareket ettirilerek, örneğin döndürülerek, öteleyerek ya da ayna görüntüsü alınarak farklı simetri türeleri elde edilebilir.

 
 
 

Peki, sadece aperiyodik bir mozaik tasarımı oluşturabilen parçaların sayısı için bir sınır olabilir mi? Bu soru ilk defa 1961 yılında filozof ve matematikçi Hao Wang tarafından soruldu. Bundan birkaç yıl sonra Robert Berger yaklaşık 20.000 parça kullanarak aperiyodik bir mozaik oluşturmayı başardı ve ilerleyen yıllarda daha az sayıda parça kullanılarak aperiyodik mozaikler yapıldı.

1970’li yılların başında ise İngiliz matematikçi ve fizikçi Roger Penrose altı farklı parçayla periyodik olmayan, ancak dönme simetrisine sahip bir mozaik oluşturmayı başardı.

Roger Penrose’un altı farklı parça kullanarak oluşturduğu mozaikte aslında dört farklı şekil var. Ancak mozaikteki farklı renklendirilmiş üç adet beşgen şekil farklı parçalar olarak kabul ediliyor. İlk bakışta desenler tekrar ediyormuş gibi görünse de daha yakından bakıldığında desenlerin tam olarak aynı şekilde tekrar etmediği fark edilebilir.

Roger Penrose daha sonra iki farklı şekle sahip parçalar kullanarak aperiyodik mozaikler oluşturmayı başardı.

Penrose mozaiğinde uçurtma ve ok adı verilen parçalar (parçalar birleştirildiğinde iç açıları 72°-108° olan bir eşkenar dörtgen elde ediliyor) bir araya getirilerek aperiyodik mozaik desenleri oluşturmak mümkün. Roger Penrose’un diğer bir aperiyodik mozaiğinde iç açıları 72°-108° ve 36°-144° olan eşkenar dörtgen şekilde iki farklı parça kullanılıyor.

Penrose mozaiğini oluşturan parçalar kullanılarak periyodik olan yani belli aralıklarla düzenli olarak tekrar eden mozaikler de oluşturulabilir.

Bu parçaların aperiyodik bir mozaik oluşturacak şekilde bir araya getirilmesini sağlamak için çeşitli yöntemler uygulanabilir. Bunlardan biri köşelerinde farklı renklerde işaretler bulunan parçaların, aynı renkteki işaretler üst üste gelecek şekilde birleştirilmesi. Diğeri ise parçaların üzerindeki genellikle dairesel desenlerin uyumlu bir şekilde bir araya getirilmesi. Penrose mozaikleri oluşturmak için uygulanabilecek başka kurallar da var. Özellikle üzerinde desenler bulunan parçaların birleştirilmesiyle oluşturulan mozaiklerde ortaya çıkan desenler daha kolay fark edilebiliyor.

İki farklı şekildeki parçalar kullanılarak oluşturulan Penrose mozaiklerinin dikkat çekici diğer bir özelliği ise, mozaiklerin kapladığı alan genişledikçe kullanılan parçaların sayılarının oranının, altın oran olarak bilinen 1,618 sayısına yaklaşması.

Harvard Üniversitesi Fizik Bölümü’nde çalışan araştırmacı Peter J. Lu, Penrose mozaiği olarak bilinen desenlerin izlerine 15. yüzyıl İslam mimarisinde rastladı. Sonuçları Sciencedergisinde yayımlanan çalışmada araştırmacılar mozaiklerin uçurtma ve ok olarak bilinen şekillerin birleşiminden oluşan daha büyük parçaların bir araya getirilmesiyle yapıldığını, böylece geniş yüzeyleri kaplayan mozaiklerin hatasız bir şekilde birleştirilebildiğini düşünüyor.

Aperiyodik mozaiklerdeki düzen atom ölçeğinde de karşımıza çıkıyor. Bilim insanları quasikristal olarak bilinen yapılarda atomların bulunduğu konumların oluşturduğu desenlerin hiçbir zaman tekrar etmediğini, ancak mükemmel bir düzende olduğunu belirledi. Normal kristallerde ise atomların konumlanma şekli simetriktir ve belli bir düzende tekrar eder yani periyodiktir. Quasikristalleri keşfeden Dan Shechtman bu keşfiyle 2011 yılında Nobel Kimya Ödülü’nü kazandı.

Siz de farklı renklerdeki kartonları Penrose parçaları şeklinde kesip Penrose mozaikleri oluşturabilirsiniz.

kaynak:bilimgenc.tubitak.gov.tr

 

married men that cheat click here link
how many men have affairs how can people cheat website
reasons why women cheat reasons women cheat reasons wives cheat on their husbands
women who like to cheat how to know if wife has cheated
wives cheat click affair dating sites
open reasons wives cheat on husbands husband cheated
how many women cheat on husbands infidelity married men who cheat with men
married and want to cheat link why married men cheat on their wives
redirect click read here
abortion real life stories history of abortion in america pregnant due
how can i terminate a pregnancy dilatation curettage abortion las vegas
i cheat on my girlfriend site my ex girlfriend cheated on me
my boyfriend cheated marcandela.com my boyfriend cheats
my boyfriend thinks i cheated on him should i tell my boyfriend i cheated i think my boyfriend cheated
did my husband cheat i almost cheated on my husband dream my husband cheated
cheat on your spouse developersalley.com i want my wife to cheat on me
why wives cheat on husbands married affairs cheats
sex stories cougars readers femchoice.org tamil sex stories readable
married cheat blog.123landlord.com cheat wifes
dating a married woman blog.jeannettespecglass.com why wives cheat on husbands
akka sex stories prashanthiblog.com grown women and their fathers who have consenual sex stories
free indian adult sex stories blog.rewardsrunner.com horny sex stories
walgreens pharmacy coupons new prescription go pharmacy discount coupons
prints at walgreens prescription drugs discount coupons rite aid photo coupon code
free prescription cards discount blog.10xone.hu pharmacy coupon
abortion nyc consequences of abortion where can i do abortion
can i find the location of a cell phone find location of cell phone number find gps location of cell phone free
discounts on prescriptions prescription drugs discount card discount coupons for viagra
betamethasone tube link azithromycin pill
sildenafil citrate 150mg bistromc.org revia
viagra trial coupon online viagra coupons prescription discount coupon
prescription coupon card 2016 viagra coupon viagra coupon card
coupons for prescription medications viagra coupon code coupons for viagra 2016
viagra manufacturer coupon 2016 viagra coupons and discounts viagra.com coupons
termination of pregnancy at 22 weeks http://abortionpill-online.com/ where to do abortion
can i take antabuse and naltrexone can i take antabuse and naltrexone can i take antabuse and naltrexone
can i take antabuse and naltrexone can i take antabuse and naltrexone can i take antabuse and naltrexone
lisinopril and pharmacogenomics lisinopril and pharmacogenomics lisinopril and pharmacogenomics
bystolic copay savings card www bystolic com coupon
daliresp patient assistance open generic for bystolic
bystolic coupon voucher tudorza patient assistance www bystolic com coupon
bystolic copay savings card click is there a generic for bystolic
abortion rules late abortion risks of abortion
doxycycline doxycycline doxycycline
metformin metformin metformin
progesterone progesterone progesterone
buy viagra online cheap viagra for sale uk viagra effects
buy viagra viagra online cheap buy viagra online cheap
cialis 2015 coupon read cialis trial coupon
free prescription cards discount cialis sample coupon cialis coupon free
cialis 5 mg cialis prix cialis effet
losartankalium crownlimos.ca losartan pro medicin
diflucan zdravilo diflucan zdravilo diflucan kandida
differin jel yan etkileri nursece4less.com differin
kamagra shop site kamagra 100mg
diamox diamox altitude diamox
lamivudine side effects open lamivudina
dulcolax fiyat open dulcolax fiyat
minoxidil kirkland click minoxidil funciona
cialis manufacturer coupon site drug discount coupons
kamagra 100mg exlim.net kamagra 100mg
forms of abortion arguments against abortion abortion procedures
partial birth abortions second trimester abortion pregnancy
coupons free go free food coupons
prescription coupon card myvisajobs.com cialis coupon codes
free printable cialis coupons myvisajobs.com cialis discount coupon
keppra 250 bioselect-us.com keppra torrino
telmisartanum telmisartan doping telmisartan and hydrochlorothiazide
fosamax fosamax fosamax
abortion cons how long do you have to get an abortion abortion pill over the counter
amoxicillin antibiyotik fiyat amoxicillin amoxicillin endikasyonlar
endep side effects gerarprieto.com endep medication uses
ibuprofen mast ibuprofen spc ibuprofen 600
coversyl eureka coversyl 5 mg coversyl alcool
clomid tapasztalatok clomid clomid proviron pct
free cialis coupon 2016 lilly cialis coupon cialis 2015 coupon
coupons prescriptions coupons cialis coupons cialis
viagra recenze femchoice.org viagra recenze
coupons cialis transfer prescription coupon prescription discount coupons
abortion pill methods albayraq-uae.com pill abortion
first trimester abortion pill how do abortion pill work after abortion pill
should abortion pill be legal information on abortion pill non surgical abortion pill
amoxicillin 500 mg amoxicillin nedir amoxicillin endikasyonlar
cymbalta plm blog.admissionnews.com cymbalta duloxetina
voltaren mcmurray.biz voltarene 50
vermox prospect centauricom.com vermox pret
how to have an abortion pill low cost abortion pill abortion pills cost
medication abortion pill abortion pill complications free abortions
losartan jubilant losartankalium teva 50 mg losartankalium bivirkninger
loette anticonceptivos loette pildora loette 28
amoxicilline amoxicillin al 1000 amoxicillin nedir
cheap cialis cialis walgreen coupon cialis 20mg
kamagranow ilkpirlantam.com kamagranow
cialis coupons from manufacturer cialis coupon lilly free cialis samples coupon
cost of medical abortion getting an abortion pill late term abortion pill
safe abortion methods dilation and curettage hysteroscopy how late can you terminate a pregnancy
free abortion pill abcomke.sk abortion pill is murder
facts on abortion pill late term abortion pill abortion pill online
how much is an abortion pill abortion pill procedures abortion pill questions
pill abortion supermaxsat.com abortion procedure
against abortion pill facts how to get an abortion pill price of an abortion pill
how much is an abortion pill methods of abortion pill abortion pill clinics in md
abortion pill rights equigold.it types of abortion pill
2015 cialis coupon akum.org coupons cialis
amoxicillin nedir amoxicillin endikasyonlar amoxicillin antibiyotik fiyat
manufacturer coupons for prescription drugs lilly cialis coupons free cialis coupon 2016
how to have an abortion pill abortion pill pros and cons abortion pill procedures
abortion pill costs achrom.be post abortion pill
prescription drugs discount cards prescription drug coupon discount rx coupons
voltaren ampul ski-club-auringen.de voltaren retard
coupon for cialis cialis free sample coupons cialis savings and coupons
lamisil crema boomasontennis.com lamisil pastillas
lamisil pomada lamisil pomada lamisil pastillas
vermox alkohol hieple.net vermox cena
cialis sample coupon free cialis samples coupon cialis coupon lilly
vacuum suction abortion uterus scraping surgery what are the methods of abortion
amoxicillin dermani haqqinda amoxicillin 1000 mg amoxicillin 500 mg
strattera 40 mg price amres.nl strattera price without insurance
feldene mcmurray.biz feldene flash
lamisil cream bvandam.com lamisil
priligy kokemuksia priligy kokemuksia priligy 60 mg
how much do abortion pill cost ameracorporation.com abortion pill rights
spontaneous abortion pill aero-restauration-service.fr abortion pill information
post abortion pill abortion options free abortions
metoprololsuccinat orion 50 mg metoprolol medicin metoprolol pro medicin
cialis coupons free discount prescriptions coupons cialis coupons 2015
clomid yunaweddings.com clomid proviron
vermox 100mg vermox 100mg vermox tablete doziranje
neurontin 400 neurontin cena neurontin
cialis discount coupons online destinations.com.pg free coupon for cialis
discount coupon for cialis coupons for cialis free printable cialis coupons
articles on abortion pill abortion pill costs how late can you get an abortion pill
metoprololtartrat metoprolol metoprololtartrat
medical abortion pill andreinfo abortion pill online
abortion pill costs abortion pill procedures for abortion pill
viagra koupit viagra recenze viagra recenze
priligy 30 mg priligy apteekki priligy
how do abortion pill work home abortion pill partial birth abortion
metoprolol modelus.com metoprolol
cialis wiki blog.plazacutlery.com cialis tadalafil
vermox bez recepta corladjunin.org.pe vermox suspenzija
how much does an abortion pill cost ouralfreton.co.uk how does an abortion pill work
abortion pill facts jcho.com abortion pill side effects
cialis trial coupon ifdefined.com cialis manufacturer coupon
coupon for prescriptions storage.toshiba.com free discount prescription card
uterine dilation and curettage abortion clinics that accept medicaid manual vacuum aspiration abortion
prescription transfer coupon coupon for cialis cialis online coupon
cialis.com coupon brandoncomputergeeks.com coupons prescriptions
cialis coupons from lilly cialis coupons from lilly drug discount coupons
alcoholism link neltrexone
low dose naltrexone breast cancer benefits of low dose naltrexone naltrexone opiate withdrawal
venlafaxin johanniskraut zhvorlangtidat.site venlafaxin 75 mg nedir



Bu web sitesi, İstanbul Kalkınma Ajansı'nın desteklediği Kar Amacı Gütmeyen Kuruluşlara Yönelik Bilgi Odaklı Ekonomik Kalkınma Mali Destek Programı kapsamında hazırlanmıştır. İçerik ile ilgili tek sorumluluk Sancaktepe Kaymakamlığı ve Sancaktepe Belediyesi'ne ait olup İSTKA veya kalkınma Bakanlığı'nın görüşlerini yansıtmamaktadır.